DeFi 科普 | 一文了解 DeFi 恒定函数做市商（CFMM）的曲率权衡（一）

注：本文作者是 Gauntlet 创始人 Tarun Chitra、placeholder 研究员 Alex Evans 以及斯坦福电气工程博士 Guillermo Angeris，原文标题为《Can one hear the shape of a CFMM?》

（显然，人们很难听出鼓的形状（Marc Kac，1966），那 CFMM 呢？）

2019 年 Uniswap 的崛起是 DeFi 交易的分水岭。Uniswap 的简洁性、gas 效率以及性能，使其迅速成为链上交易的主要场所。而今年初推出的 Curve 则表明，即使是对恒定函数做市商（CFMM）的设计进行微小改变，也可以大幅提高资本效率及表现。特别是，Curve 开创了局部更平滑的曲线，它为稳定币之间的交易提供了较低的滑点。这一调整使得 Curve 能够捕获到大量的交易量，同时又能在常规情况下超越现有中心化交易所和场外交易平台。由于 Curve 的成功，曲率越来越被认为是 CFMM 设计空间的组成部分。然而，曲率的选择对市场行为的确切影响，尚没有得到深入的研究。

在这一系列的文章中，我们开始提出 CFMM 曲率形状的概念。我们讨论了曲率选择对均衡价格、稳定性、流动性提供者（LP）回报以及市场微观结构的影响。这些文章的观点，来自我们接下来会发布的论文《狗尾巴什么时候摇？曲率与做市》。我们会在该系列文章的第三篇发布时，同时发表这篇论文。

在第一篇文章中，我们将提供曲率的一个定义，并讨论其对流动性和价格稳定性的影响。

2020 年的夏天改变了 CFMM 的面貌。很大程度上因为收益农耕（yield farming）活动的影响，CFMM 市场越来越成为各种资产对最具流动性的市场。这就需要一个新的分析框架来研究这些市场。我们发现曲率为研究 CFMM 主导市场提供了缺失的环节。当 CFMM 成为最具流动性的交易场所时，其他交易场所大多会根据 CFMM 的价格进行调整。我们框架的第一步，是了解流动性有限的场所如何相互影响。

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两种市场模型

假设有两个交易场所可以交易给定的一个资产对。而其中一个交易场所的流动性要比另一个更高。那我们如何模型化流动性的差异？一个简单的练习就是观察固定规模交易的影响，如果相同规模的交易导致一个市场的价格变化大于另一个市场，我们就可以粗略地判断说“前者的流动性较低”。

在 CFMM 的例子中，这个简单的模型具有令人惊讶的描述性。CFMM 为每一个资产对都实现了一个特定的曲线，允许我们精确地描述给定交易的影响，这就是曲率的来源。非正式地说，曲率描述了 CFMM 在一笔小型交易后报告的价格绝对变化。

在其他条件相同的情况下，存储资金量较高的 CFMM 将表现出较低的曲率。然而，对于给定的存储资金值，一些 CFMM 的曲率要比其他的要低。通过比较 Uniswap 和 Curve，我们就可以看出差异。从存储量相等的点开始，从下图可以看出，Uniswap 在点_x = y = 5_处具有比 Curve 更高的曲率。

如我们所见，曲率为给定市场的流动性提供了一个优雅的模型。市场的曲率越低，给定交易的价格影响就越小。

大多数 CFMM 模型都假设流动性有限的 CFMM 和流动性无限的“参考”市场。这些模型表明，在相当普遍的条件下，CFMM 的价格将由套利者进行调整，以反映参考市场的价格。这些模型在实践中表现良好，因为 Uniswap 与其他交易场所的套利问题通常是凸性的，所以套利者可以轻松地弄清楚如何调整准备金以反映当前的市场价格。

该理论巩固了 CFMM 在各种链上应用中作为价格预言机的使用（例如 Uniswap v2 预言机）。然而，在经历了 2020 年夏季 CFMM 的繁荣之后，我们需要一个能够更好地捕捉 CFMM 驱动市场现实的模型。

要做到这一点，请翻转剧本。假设我们有一个高流动性（低曲率）的 CFMM 和一个流动性较小（高曲率）的参考市场。参考市场可以基于 CFMM、订单簿、报价请求系统、拍卖或任何组合。市场的选择不会影响模型，只要它具有非零曲率（有限的流动性）即可。如果两个市场的价格不同，套利者可以通过在每个市场进行抵消交易来获利，直到两个市场报告的价格一致为止。

如果两个市场的流动性相等，我们预计由此产生的无套利价格将介于两个市场的交易前价格之间。然而，如果 CFMM 流动性更强，最终价格将更接近于 CFMM 套利前的报价。换句话说，如果 CFMM 的流动性明显高于参考市场，那么参考市场价格的变化，对无套利价格的影响较小。

要了解这一点，请考虑下面的示例。我们有一个 60:40 的 Balancer 池以及一个 Uniswap 池。对于同样价值的储备资金，Uniswap 池的的曲率会略低。为了强调差异，我们就假设 Uniswap 池稍大一些。在下图中，Balancer 和 Uniswap 上的报价从不同的点开始（它们的切线斜率不同）。套利者在一个市场买入，在另一个市场卖出，直到两条切线的斜率相等。请注意，Balancer 的价格变化要比 Uniswap 池子的价格变化更大，但差别并不是很大。这是因为这两个市场的曲率实际上相当接近，尽管 Uniswap 市场的储备更高，权重也稍为均衡。

Uniswap 和 Balancer 之间的套利

然后我们将对比对象换成一个 Uniswap 池，以及一个 Curve 池，它们具有大致相等的储备资金。在这种情况下，Curve 的价格几乎没有变动，而 Uniswap 的价格调整则较大。

Uniswap 和 Curve 之间的套利

当交易的资产对价格大致相等时，Curve 的曲率要比 Uniswap 低得多。这意味着，即使流动性较小场所的价格波动很大，最终价格也不会与 Curve 的报价相差太大。注意，这种套利在实践中极为普遍。以太坊上的套利机器人不断在 Balancer、Uniwap、Curve 池以及基于订单簿的交易所中调整价格。在我们即将发表的论文中，我们通过数学方法确定了这种效应。

如果 CFMM 相对于参考市场具有更高的流动性，那么即使参考市场价格出现较大偏差，对无套利价格的影响也将是最小的。

我们证明，只要价格跳跃是由某个（潜在的大）常数所限制，这一点就成立了。这一假设排除了极端情况，例如稳定币锚定完全脱钩。最后，在脚注 0 和脚注 1，我们概述了在正式描述曲率时需要考虑的一些技术和数学方面的考虑。

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sUSD 的奇特案例

我们已经看到，低曲率的 CFMM 可以“将自己的意愿”强加给更广的市场。这也有助于解释另一个现象：价格稳定。从 2020 年 3 月开始，Synthetix 宣布将激励 Curve 上 sUSD 的流动性，以更好地支持 sUSD 锚定汇率。

在 Curve 上创建这个 sUSD 池子对锚定产生了近乎直接的影响：sUSD 开始更加密切地追踪其他稳定币的价格。下面，我们展示了从 2019 年末到 2020 年 9 月在 Uniswap 上 sUSD 的价格。这个 sUSD 池子于 2020 年 3 月中旬正式启动（在安全事件发生后不久重启）。

从 2020 年 3 月底到 6 月初，sUSD 在 Uniswap 上的价格很好地锚定了。我们预计，Curve 和 Uniswap 之间的套利促成了这一效应：只要 sUSD 在锚定汇率附近的价格波动是有界的，套利者就会被激励，使 Uniswap 的价格与 Curve 的价格保持一致。

请注意，sUSD 在除 Curve 之外的所有其他市场都缺乏流动性，这导致 Curve 和所有其他市场之间的曲率差非常大。

同时，这些数据也显示了我们的两种市场模型的局限性。在 6 月份的第二周，sUSD 开始更加频繁地脱钩。这种新的情况几乎与 2020 年 6 月收益农耕的出现完全吻合。2020 年 6 月上旬至中旬，Compound 和 Balancer 启动了第一个流动性挖矿计划。

SNX （sUSD 的主要抵押品）的价格开始出现拐点，在 6 月份上涨了两倍多，并在整个夏季继续上涨。其他 DeFi 项目也启动了流动性挖矿，而稳定币是大多数流动性挖矿策略的核心。

结果是，几乎所有的稳定币因收益农耕的需求而增加了波动性。显然，我们的双市场模型并没有捕捉到这些因素。因此，我们需要将模型扩展到包括收益农耕及其与曲率的相互作用。我们将在之后的文章中讨论这一扩展。

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曲率的代价

低曲率是要进行权衡的，如果 CFMM 的曲率为零，则 CFMM 的报价不会发生变化，而无论交易量是多少。因此，恒定和曲线（如 mStable）为 CFMM 可持有的每个稳定币设置了界限，以防止 LP 完全持有表现最差的资产。

当资产高度相关且均值回复时，低曲率 CFMM 表现更好。在这种环境下，CFMM 能够通过较低的曲率吸引更多的交易量和费用，而均值回归则调节了无常损失的影响。稳定币与稳定币 CFMM 现在基本上遵循这一原则，对于债券等到期资产，CFMM 也是如此。在下一篇文章中，我们将讨论在不对称信息、均值回归以及无常损失的情况下，LP 的曲率权衡。

脚注：

[0] Curve 和 Uniswap 的主要区别之一是，Curve 的定价函数在价格-数量空间的某个区域内“较平滑”，而在其他价格区域内“较陡峭”。为什么人们更喜欢这种定价曲线变化的经济学直觉如下：

1. 我们有两种资产，它们的价格（相对于另一种）是均值回复和低差额（例如，它们的价格通常是相等）的；

2. 将这些资产保持在彼此附近的交易（例如“软”锚定）应该是便宜的，因为它们鼓励套利者实施锚定。这是通过使曲线变平来实现的，这样可以降低交易者面临的滑点和市场冲击；

3. 然而，当资产“脱钩”时，交易者会面临更高的滑点。这实际上是为了补偿流动性提供者偏离锚定，并确保他们不会退出流动性，冻结市场；

与 Uniswap 对所有价格都有一个更统一的曲率水平不同，Curve 适应了预期在其上进行交易的价格过程（例如均值回归、有界方差）。这个例子表明，CFMM 定价函数的选择与交易的资产类型以及保持流动性提供者满意所需的激励措施密切相关。

[1] 除了模糊不清的“更平滑”或“更陡峭”的概念，有没有办法使我们形式化？答案是肯定的，这要归功于卡尔·弗里德里希·高斯。在过去的几个世纪中，数学家们通过分析和代数，来量化及分类几何直觉（geometric intuitions）。分析和代数之间的主要联系之一，来自固有曲率的概念。曲面的固有曲率表示曲面上的小三角形面积与平面上周长相同的三角形的面积之比。固有曲率的一个关键特征是，它不依赖于曲面的方向或参数化。例如，沙滩球在任何方向上旋转任何角度时，其固有曲率都不会改变。我们可以将“固有”属性更一般地定义为：

对于任何旋转矩阵 A 和平移向量 b，由 f(Ax+b) = k 定义的曲面与由 f(x) = k 定义的曲面具有相同的曲率。

高斯的绝妙定理 (Theorema Egregium)，是微分几何学早期的关键成果之一，它表示隐式定义曲面的曲率（例如，f(x) = k 的曲面）是固有的。

这与 CFMM 曲率的直观概念有什么关系？回想一下，定义 CFMM 的等效方法是通过交易集，类似于其不变函数的 epigraph。该集合的边界是由常函数不变量定义的曲面。当我们谈到 Curve 比 Uniswap 更平滑（曲率更低）时，我们提到的就是这个曲面的曲率。

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