CFMM （恒定函数做市商）的演变

在传统金融市场上，每种证券都需要一个买方和卖方市场才能有效地进行交易。如今，股票交易的速度和简便性被视为理所当然，尤其是在新引入的 Robinhood 投资模式下。在这个新时代，做市商扮演着举足轻重的角色，为市场参与者创造了无缝的交易体验。在过去的一年里，做市商这个角色以名为自动化做市商（AMMs）的算法代理的形式移植到加密生态系统中。

AMMs 执行的功能与传统做市商相同，促进两种数字资产之间的交易。然而，在智能合约里不是由大银行或交易公司来做市，而是通过算法做市。与传统的做市商依靠大量资源提供严格的买卖价差不同，AMMs 重新定义了提供流动性的方式，并应用数学公式来决定资产交易的价格。

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恒定函数做市商

恒定函数做市商（CFMM）是最流行的 AMM 系列。当交易者希望将代币 A 换成代币 B 时，这种 AMM 会使用恒定函数作为其定价机制。在这种情况下，术语 " 恒定函数 " 指的是资产储备的乘积必须在发生任意交易时都保持不变。

自 2017 年以来，针对不同使用案例的优化，一些 DEX 已经把这个恒定函数进行了修改。下面将介绍一些最流行的 DEX，并详细介绍其采用的恒定函数。

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Uniswap

Uniswap 是第一个让使用恒定函数（来交换两种资产）变得流行的 DEX。它使用了一种被称为 " 恒定乘积 AMM " 的 AMM 变体，它强制要求两种资产储备量的乘积必须始终保持不变。

在这个等式中，x 和 y 代表流动性池中两种资产的单位数量。

举例说明，假设 ETH/DAI 池包含 100 ETH （x 的值）和 10,000 DAI （y 的值）。在这个例子中，Uniswap 将这两个数量相乘，得到 k 的值为 1,000,000。现在的目标是保持 k 值恒定，而不考虑对流动性池的交易量。做到这一点的唯一方法是，x 和 y 的数量反向变化。换句话说，当 x 的数量增加时（交易者将 ETH 加入池中），y 的数量必须减少（交易者将 DAI 从池中取出）。最终，任何给定交易所的报价都是常量乘积公式和池中代币比例的函数。

需要注意的是，x 和 y 之间的关系不是线性的。用 10 个 ETH 兑换 1000 个 DAI 不等于用 20 个 ETH 兑换 2000 个 DAI。相反，这种关系是渐近式的。这意味着随着花费的代币数量增加，收到的代币数量会变小。

恒定乘积函数的特性对 AMMs 很有用，因为它确保了当任何一种资产的价格接近无穷大时，总会有流动性。

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Balancer

Balancer 的 AMM 一般化了 Uniswap 的恒定乘积功能，创造了一个被称为 " 恒定平均 AMM" 的变体。这个 AMM 的核心是价值函数，它强制规定资产池中的资产余额的权重次幂的乘积应始终保持不变。

在这个公式中，t 代表池中的资产的种类数，Bt 是资产数量，Wt 是资产权重。虽然与 Uniswap 简单易懂的常量乘积函数相比，数学公式看起来要复杂得多，但其实很容易理解。例如，假设用户创建了一个 Balancer Pool，其中包含三种资产：100 ETH、100 BTC 和 100,000 DAI，每种资产的权重为 33.3%。Balancer 对这些数值进行如下处理：

类似于 Uniswap，目标是在保持资产权重不变的情况下，只改变资产余额，从而保持 k 不变。在 3 种资产 Balancer Pool 的情况下，交易可以发生在三个资产中的任意两个之间。用户可以用 ETH 交换 DAI，用 ETH 交换 BTC，或者用 DAI 交换 ETH。通过保持 k 的值不变，可以在三种资产之间生成一个价值面。

有趣的是，这个曲面与 Uniswap 的常量乘积函数并没有太大区别。另一种思考方式是将图 1 中的恒积函数，额外增加一个代表池中第三个代币的轴。通过改变图 2 的角度，两个函数之间的相似性变得更加明显。

由于 Balancer 池被设计成有 2 到 8 种资产，任意两个代币之间的交易价格报价就比较复杂了。池中的每一对代币都有一个价格，这个价格取决于该特定代币的余额 B 和权重 W。从形式上看，交易执行的价格是按照代币余额与代币权重的比值来计算的。

在上面的公式中，代币 A 代表被卖出的代币（进入池子） 而代币 B 是被买入的代币（离开池子）。如果池子的持有者不改变资产储备，很容易看出价格的变化完全基于交易，因为资产权重必须始终保持不变。这种机制与图 2 所示的恒定面相结合，可以保证买入资产的价格上升，而卖出资产的价格下降。在与 Uniswap 相同的情况下，套利机会保证了 Balancer Pools 提供的价格与市场其他部分同步变动。

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Curve

Curve 是一个交易所流动性池，预期价格稳定的资产之间可以在该池里进行高效交易（如稳定币或封装的比特币（wrapped bitcoin））。Uniswap 和 Balancer 主要是针对波动和价格不稳定的代币的交易。然而，当处理那些想要互相保持稳定的资产之间的交易时，低价格滑点是最重要的。之前迭代的各种 AMMs 固有曲率就有问题了，因为交易规模越大，滑点就越大。

解决价格滑点问题的一个方法是，使用常数和函数作为 AMM 的内部交易机制。当使用两种资产进行操作时，恒和（constant sum）做市商强制规定资产数量之和必须保持不变，并遵循以下函数：

如图，一个双资产恒和做市商是一条简单的直线。

虽然这个函数的简单性实现了低滑点，但它缺乏恒定产品做市商的关键属性，即当任何一种资产从池子中流出时，池子总还会有流动性，而另一种资产的数量趋于无穷大。

为了解决这些问题，Curve 通过结合恒定总和和恒定乘积函数创造了一种混合 AMM：在曲线的平衡点附近创建一条相对平坦的曲线，类似于恒定总和函数，以保持价格相对稳定，同时使两端更加倾斜，类似于恒定乘积函数，因此在曲线的每个点都有流动性。在双资产的情况下（x 和 y），最终的结果是下面的复杂函数。

除了复杂的数学之外，请注意两个常数函数是如何嵌入方程中的。左边是常数和，右手边是常数积。此外，公式中还包含了一些其他的项来达到预期的目的。在公式中，n 代表资产数量（在本例中 n=2），A 是一个 " 放大系数 " 参数，它决定了函数与常积函数的相似程度。A 的值越低，Curve 的函数就越接近 Uniswap 的函数。

就像之前的 CFMMs 一样，我们的目标是在 x 和 y 之间发生交换时保持 k 的值不变。绘制该函数会像这样：

来源：Curve 白皮书

从图 5 中可以看出，Curve 的函数在中间表现为恒定加和函数，但随着 x 和 y 的值的变大，则变为恒定乘积函数。这种形状使曲线中间段的价格保持稳定，同时又能在两端提供流动性。

结论

在过去的几年里，AMMs 通过以去中心化的、全球可访问的和非托管的方式汇聚和提供流动性，它已经成为 DeFi 的重要组成部分。具体而言，Uniswap、Balancer 和 Curve 等 CFMMs 获得了巨大的增长和应用，交易量超过数十亿美元。

自 2017 年以来，这些去中心化的交易所已经开发了恒定函数的各种变体，以解决特定的交易所问题。随着该领域继续扩大，涵盖各种资产，为使交易更高效，交易所必须对底层功能进行大量思考。虽然这项技术仍处于早期阶段，但它已经带出了新的研究领域，更多的 AMM 设计将会出现，最终为所有 DeFi 用户提供更好的流动性。