拆解 Schnorr 和椭圆曲线数字签名

作者 | 郭宇

来源 | 安比实验室

区块链很难被称为一个单独的“技术”，而更像是一个包罗万象的“领域”。这正是它的魅力之所在。

“零知识证明”打通了链上数据与链下计算，构建了信任，是实现数据隐私保护的重要途径，也是区块链有机体中不可或缺的一环。

本文来自硬核区块链技术团队——安比实验室（SECBIT），将从数学角度切入，全面阐述零知识证明技术发展的前世今生。系列文章共三篇，此为最后一篇。
此前篇目请见：《从数论、“四色定理”到毫秒级验证》

《抽象、模拟：阿里巴巴和四十大盗》

「零知识」vs. 「可靠性」

我们在许多介绍零知识证明的文章中都能看到这样三个性质：

• Completeness —— 完备性
• Soundness —— 可靠性
• Zero-Knowledge —— 零知识

但是少有文章深入解释这个特性背后的深意和洞见。

在上文中，我们介绍了「模拟器」这个概念。许多介绍文章避而不谈「模拟」，但「模拟」可以说是安全协议中核心的核心，因为它是定义「安全性」的重要武器。

通常，我们定义安全会采用这样一种方式，首先列出一些安全事件，然后说明：如果一个系统安全，那么列出来的安全事件都不会发生。

借用密码学家 Boaz Barak 的话，翻译一下，「零知识证明」并不是通过给出一个不允许发生的事件列表来定义，而是直接给出了一个最极致的「模拟条件」。

所谓「模拟条件」是指，通过「模拟」方法来实现一个「理想世界」，使之与「现实世界」不可区分；而由于在理想世界中不存在知识，所以可以推导出结论：现实世界满足「零知识」。

我们继续分析下一个交互系统（安全协议）的三个性质：「完备性」、「可靠性」与「零知识」。

• 可靠性（Soundness）：Alice 在没有知识的情况下不能通过 Bob 的验证。
• 完备性（Completeness）：Alice 在有知识的情况下可以通过 Bob 的验证。
• 零知识（Zero-knowledge）：Alice 在交互的过程中不会泄露关于知识的任何信息。

我们可以看出来「可靠性」和「完备性」有一种「对称性」。可靠性保证了恶意的 Alice 一定失败，而完备性保证了诚实的 Alice 一定成功。

「完备性」比较容易证明，只要 Alice 诚实，Bob 也诚实，那么皆大欢喜。这好比，写好一段代码，喂了一个测试用例，跑完通过收工。

我们来想想「可靠性」应该如何定义？这个可靠性的逆否命题是：（在现实世界中）如果 Alice 能通过 Bob 的验证，那么 Alice 一定有知识。或者说：Alice 知道那……个「秘密」！

下面的问题是如何证明 Alice 知道一个「秘密」？__

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这好像也很难，对不对？假如我们需要证明一台机器知道一个「秘密」，最简单的办法就是我们在机器的硬盘里，或者内存中找到这个「秘密」，但是这样暴露了秘密。如果这台机器是黑盒子呢？或者是 Alice 呢？我们没有读心术，猜不到她心里的那个秘密。
如何定义「To Know」？__

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「零知识」保证了 验证者 Bob 没有（计算）能力来把和「知识」有关的信息「抽取」出来。不能抽取的「知识」不代表不存在。「可靠性」保证了知识的「存在性」。

只有「知识」在存在的前提下，保证「零知识」才有意义。**
本文将探讨「可靠性」和「To Know」。

为了进一步分析「知识」，接下来首先介绍一个非常简洁，用途广泛的零知识证明系统 —— Schnorr 协议。这个协议代表了一大类的安全协议，所谓的 Σ-协议，而且 Schnorr 协议扩展也是『零知识数据交换协议 zkPoD』的核心技术之一。

*简洁的 Schnorr 协议*

Alice 拥有一个秘密数字，a，我们可以把这个数字想象成「私钥」，然后把它「映射」到椭圆曲线群上的一个点 a*G，简写为aG。这个点我们把它当做「公钥」。

• sk = a
• PK = aG

请注意「映射」这个词，我们这里先简要介绍「同态」这个概念。椭圆曲线群有限域之间存在着一种同态映射关系。有限域，我们用 Zq 这个符号表示，其中素数q是指有限域的大小，它是指从0, 1, 2, …, q-1 **这样一个整数集合。而在一条椭圆曲线上，我们通过一个基点，G，可以产生一个「循环群」，标记为 **0G, G, 2G, …, (q-1)G，正好是数量为 q 个 曲线点的集合。任意两个曲线点正好可以进行一种「特殊的二元运算」，G + G = 2G ，2G + 3G = 5G，看起来这个二元运算好像和「加法」类似，满足交换律和结合律。于是我们就用 + 这个符号来表示。之所以把这个群称为循环群，因为把群的最后一个元素(q-1)G，再加上一个 G 就回卷到群的第一个元素 0G。

给任意一个有限域上的整数 r，我们就可以在循环群中找到一个对应的点rG，或者用一个标量乘法来表示r*G。但是反过来计算是很「困难」的，这是一个「密码学难题」—— 被称为离散对数难题。

也就是说，如果任意给一个椭圆曲线循环群上的点R，那么到底是有限域中的哪一个整数对应 R，这个计算是很难的，如果有限域足够大，比如说 256bit 这么大，我们姑且可以认为这个反向计算是不可能做到的。

Schnorr 协议充分利用了有限域和循环群之间单向映射，实现了最简单的零知识证明安全协议：Alice 向 Bob 证明她拥有 PK 对应的私钥 sk。

第一步：为了保证零知识，Alice 需要先产生一个随机数，r，这个随机数的用途是用来保护私钥无法被 Bob 抽取出来。这个随机数也需要映射到椭圆曲线群上，rG。

第二步：Bob 要提供一个随机数进行挑战，我们把它称为 c。

第三步：Alice 根据挑战数计算z = r + a * c，同时把 z发给 Bob，Bob 通过下面的式子进行检验：_zG ?= R + cPK = rG + c*(aG)_

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大家可以看到 Bob 在第三步「同态地」检验z 的计算过程。如果这个式子成立，那么就能证明 Alice 确实有私钥a。

可是，这是为什么呢？

*z *的计算和验证过程很有趣，有几个关键技巧：

• 首先 Bob 必须给出一个「随机」挑战数，然后 Bob 在椭圆曲线上同态地检查 z 。如果我们把挑战数 c **看成是一个未知数，那么r+a*c=z可以看成是一个一元一次方程，其中 *r *与 **a 是方程系数。请注意在 c *未知的前提下，如果 *r + a*x = r' + a'*x **要成立，那么根据 Schwatz-Zippel 定理，极大概率上r=r'，a=a'都成立。也就是说， Alice 在 **c 未知的前提下，想找到另一对不同的r',a'来计算 z 骗过 Bob 是几乎不可能的。这个随机挑战数 c **实现了r** 和a的限制。虽然 Bob 随机选了一个数，但是由于 Alice 事先不知道，所以 Alice 不得不使用私钥a来计算 z。这里的关键： c 必须是个随机数。
• Bob 验证是在椭圆曲线群上完成。Bob 不知道r，但是他知道r映射到曲线上的点 R；Bob 也不知道 a，但是他知道 a *映射到曲线群上的点 *PK，即 a*G。通过同态映射与 Schwatz-Zippel 定理，Bob 可以校验 z 的计算过程是否正确，从而知道 Alice 确实是通过r和a计算得出的 z，但是又不暴露r与 a 的值。
• 还有，在协议第一步中产生的随机数r保证了a的保密性。因为任何一个秘密当和一个符合「一致性分布」的随机数相加之后的和仍然符合「一致性分布」。

*证明零知识*

我们这里看一下 Schnorr 协议如何证明一个弱一些的「零知识」性质—— Special Honest Verifier Zero-Knowledge「SHVZK」：

SHVZK 要求协议中的 Bob 的行为不能不按常理出牌，比如他必须按协议约定，在第二步时，去传送带上取一个新鲜的随机数，并且立即使用。而通常意义上的「零知识」是不会对 Bob 做任何要求，所以我们说这里是一个弱一些的性质。虽然目前 Schnorr 协议不能证明完全的「零知识」，但经过添加一些协议步骤，就可以达到完全零知识的目的，细节这里不展开。以后我们在讨论 Fiat-Shamir 变换时，还会再次讨论这个问题。

首先「模拟器」模拟一个「理想世界」，在理想世界中模拟出一个 Zlice 和 Bob 对话，Zlice 没有 Schnorr 协议中的知识，sk，而 Bob 是有公钥 PK 的。请大家看下图，Bob 需要在 Schnorr 协议中的第二步出示一个随机数 c，这里有个额外的要求， 就是 Bob 只能「诚实地」从一个外部「随机数传送带」上拿一个随机数，每一个随机数都必须是事先抛 k 次「硬币」产生的一个 2^k 范围内的一次性分布随机数。Bob 不能采用任何别的方式产生随机数，这就是为何我们要求 Bob 是诚实的。

下面演示 Zlice 如何骗过 Bob：

序幕：请注意 Zlice 没有关于 sk 的知识，这时 Bob 的随机数传送带上已经预先放置了一些随机数。第一步：Zlice 产生一个一致性分布的随机数 c，并且利用一个新的「超能力」，将刚刚产生的随机数 c 替换掉 Bob 的随机数传送带上第一个随机数。这时候，Bob 无法察觉。第二步：Zlice 再次产生一个随机数 z，然后计算_R'=zG - cPK_，并将 R'*发送给 Bob。第三步：这时候 Bob 会从随机数传送带上取得 *c，并且将 *c *发送给 Zlice。请注意这个 **c 正好就是第一步中 Zlice 产生的 c。第四步：Zlice 将第三步产生的随机数 z 发送给 Bob，Bob 按照 Schnorr 协议的验证公式进行验证，大家可以检查下，这个公式完美成立。

大家可以再对比下「现实世界」的 Schnorr 协议，在两个世界中，Bob 都能通过验证。

但区别是：

• 在「理想世界中」，Zlice 没有 sk；而在「现实世界中」，Alice 有 sk
• 在「理想世界中」，z 是一个随机数，没有涉及 sk；而在「现实世界中」，z 的计算过程里面包含 sk
• 在「理想世界中」，Zlice 使用了超能力，替换了 Bob 的随机数；而在「现实世界中」，Alice 看不到 Bob 的随机数传送带，也无法更改传送带上的数字

这里请大家思考下：

Schnorr 协议中，Bob 在第二步发挑战数能不能和第一步对调顺序？也就是说 Bob 能不能先发挑战数，然后 Alice 再发送 R = r*G。

答案是不能。

如果 Alice 能提前知道随机数，那么 （现实世界中的） Alice 就可以按照模拟器 Zlice 做法来欺骗 Bob。

再遇模拟器

其实，「可靠性」和「零知识」这两个性质在另一个维度上也是存在着一种对称性。可靠性保证了恶意的 Alice 一定失败，零知识保证了恶意的 Bob 一定不会成功。有趣地是，这种对称性将体现在模拟出来的「理想世界」中。

我们分析下可靠性这个定义：Alice 没有知识导致 Bob 验证失败。它的逆否命题为：Bob 验证成功导致 Alice 一定有知识。

我们再次求助模拟器，让他在可以发挥超能力的「理想世界」中，去检验 Alice 的知识。

再次，请大家设想在平行宇宙中，有两个世界，一个是叫做「理想世界」，另一个叫做「现实世界」。理想世界有趣的地方在于它是被「模拟器」模拟出来的，同时模拟器可以在理想世界中放入带有超能力的 NPC。这次把 Alice 的两个分身同时放入「理想世界」与「现实世界」。

假设「你」扮演 Bob 的角色，你想知道和你对话的 Alice 是否真的是「可靠的」。于是把你放入「理想世界」，借助一个具有超能力的 NPC，你可以把对面的 Alice 的知识「抽取」出来。

W...hat？我们不是刚刚证明过：协议是零知识的吗？零知识就意味着 Bob 抽取不出任何的「知识」碎片。这里敲黑板，「零知识」是对于「现实世界」而言的。我们现在正在讨论的是神奇的「理想世界」。

重复一遍，在「理想世界」中，你可以借助一个有超能力的 NPC 来抽取 Alice 的知识，从而可以保证「现实世界」中的 Alice 无法作弊。可以想象一下，一个作弊的 Alice，她肯定没有知识，没有知识也就不可能在「理想世界」中让 NPC 抽取到任何东西。

然而在「现实世界」中，你无法借助 NPC，当然也就看不到 Alice 的知识，也就不会和「零知识」性质冲突。因为两个世界发生的事件是「不可区分」的，我们可以得到这样的结论：在「现实世界」中，Alice 一定是存在知识的。

整理一下思路：如何证明在一个交互会话中 Alice 不能作弊呢？我们需要为这个交互会话定义一个「模拟算法」，该算法可以模拟出一个「理想世界」，其中有一个特殊的角色叫做「抽取器」(Extractor)，也就是我们前面说的 NPC，它能够通过「超能力」来「抽取」Alice 的知识，但是让对方「无所察觉」。

注意，超能力是必不可少的！这一点在第二篇中有解释，如果模拟器在没有超能力的情况下具备作弊能力，那相当于证明了协议「不可靠」（Unsoudness）。同样地，如果「抽取器」在没有超能力的情况下具备抽取信息能力，那相当于证明了协议不零知（Not-zero-knowledge）。

最后一点，超能力是什么？

这个要取决于具体的交互系统的证明，我们接下来就先拿我们刚刚讲过的 Schnorr 协议切入。

Proof of Knowledge ：「知识证明」

我们来证明一下 Schnorr 协议的「可靠性」，看看这个超能力 NPC 如何在「理想世界」中把 Alice 私钥抽取出来。而这个「超能力」，仍然是「时间倒流」。第一步：Alice 选择一个随机数 r，并且计算 R=r*G，并将 R 发给「抽取器」第二步：抽取器也选择一个随机的挑战数c，并且发给 Alice第三步：Alice 计算并且回应 z，然后抽取器检查 z是否正确
第四步：抽取器发现 z **没有问题之后，发动超能力，将时间倒回第二步之前
第五步：抽取器再次发送一个不同的随机挑战数c'给 Alice，这时候 Alice 回到第二步，会有一种似曾相识的感觉，但是无法感知到时间倒回这个事实
第六步：Alice 再次计算了 **z'，然后发给抽取器检查
第七步：这时候抽取器有了z 和 z'，就可以直接推算出 Alice 所拥有的私钥 a，达成「知识抽取」

到这里，「可靠性」就基本证明完了。大家是不是对可靠性和零知性的「对称性」有点感觉了？

总结一下：「抽取器」在「理想世界」中，通过时间倒流的超能力，把 Alice 的「知识」完整地「抽取」出来，这就保证了一个没有知识的 Alice 是无法让抽取器达成目标，从而证明了「可靠性」。**

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解读 ECDSA 签名攻击

在区块链系统中到处可见的 ECDSA 签名方案也是一个朴素的零知识证明系统。椭圆曲线数字签名方案 ECDSA 与 Schnorr 协议非常接近，基于 Schnorr 协议的签名方案发表在 1991 年的『密码学杂志』上。1991 年，正值美国国家标准局（NIST）选择数字签名算法，优雅的 Schnorr 签名方案居然被申请了专利，因此 NIST 提出了另一套签名方案 DSA （Digital Signature Algorithm），随后这个方案支持了椭圆曲线，于是被称为 ECDSA。中本聪在构思 BTC 时，选择了 ECDSA 作为签名算法，但是曲线并没有选择 NIST 标准推荐的椭圆曲线 —— secp256-r1，而是 secp256-k1。因为江湖传言，NIST 可能在椭圆曲线参数选择上做了手脚，导致某些机构可以用不为人知的办法求解离散对数难题，从而有能力在「现实世界」中具备超能力。有不少人在怀疑，也许当年中本聪在设计 BTC 时，也有这种考虑，故意选择了 secp256-k1 这样一条貌似安全性稍弱的曲线。

我们拆解下 ECDSA 签名，用交互的方式定义一个类似 ECDSA 的认证方案，交互见下图。

第一步：Alice 仍然是选择一个随机数 k，并将 k 映射到椭圆曲线上，得到点 *K *，然后发送给 Bob。

第二步：Bob 需要产生两个随机数，c *和 *e，然后交给 Alice。

第三步：Alice 计算 s，并且发送给 Bob，他来验证 s 的计算过程是否正确。

江湖上流传着一个说法：ECDSA 签名方案有个严重的安全隐患，如果在两次签名中使用了同一个随机数，那么签名者的私钥将会暴露出来。其实 Schnorr 签名方案也有同样的问题。

当年 Sony PlayStation 3 的工程师在调用 ECDSA 库函数时，本来应该输入随机数的参数位置上，却传入了一个常数。熟悉密码学的黑客们发现了这个严重的后门。2011 年 1 月，神奇小子 Geohot 公开发布了 Sony PS3 的主私钥，这意味着任何用户都可以轻松拿到游戏机的 root 权限。Sony 随后大为光火……

如果 Alice 在两次交互过程中使用了同一个 K，那么 Bob 可以通过发送两个不同的 c 和c' *来得到 *s **和s'，然后通过下面的公式算出私钥 **a：

[code]
k = (c - c')/(s - s')
[/code]
[code]
a = (k * s - c)/e

[/code]
[/code]

那么我们应该怎么来看这个「安全后门」呢？大家想想看，这个安全后门和我们前面证明过的 Schnorr 协议的可靠性证明几乎一模一样！这个算法正是 ECDSA 认证协议的「可靠性」证明中的「抽取器」算法。只不过在可靠性证明中，为了让 Alice 使用同一个随机数 k 来认证两次，「抽取器」需要利用「时间倒流」的超能力。

但是在 Sony PS3 系统中，随机数被不明所以的工程师写成了一个固定不变的值，这样相当于直接赋予了黑客「超能力」，而这是在「现实世界」中。或者说，黑客在不需要「时间倒流」的情况下就能实现「抽取器」。

提醒下，不仅仅是随机数不能重复的问题。而是随机数必须是具有密码学安全强度的随机数。

设想下，如果随机数r *是通过一个利用「线性同余」原理的伪随机数生成器产生，虽然 r 的值一直在变化，但是仍然不能阻止「知识抽取」。假设线性同余算法为 *r2= d*r1 + e (mod m)，还回到 Schnorr 协议的第三步：
[code]
1:z1 = r1 + c1*a
[/code]
[code]
2:z2 = r2 + c2*a
[/code]
[/code]

如果攻击者让 Alice 连续做两次签名，那么将 r2 代入 r1 之后，就出现了两个线性方程求解两个未知数 (r1, a) 的情况，z1, z2, c1, c2, d, e 对于 攻击者是已知的，这个方程组只用初中数学知识就可以求解。

请注意，这并不是 Schnorr 协议（或 ECDSA 协议）的「设计缺陷」，恰恰相反，这是 Schnorr 协议设计比较精巧的地方，它从原理上保证了协议的可靠性。类似技巧在密码学协议中频繁出现，达到一目了然的「简洁」。但是也不得不说，如果不清楚协议的内在机制，尤其是区分不清楚「理想世界」与「现实世界」，使用者很容易引入各种花式的「安全漏洞」。

作为一个能写出安全可靠软件的负责任的码农，我们需要了解哪些？彻底理解安全协议的设计机制当然是最好的，但是绝大多数情况下这是不现实的。一般来说，我们把各种密码学工具当做「黑盒」来用，但这可能是不够的，我们最好能了解下：

• 「安全定义」是什么？
• 「安全假设」到底是什么？
• 「理想世界」中的「超能力」到底是什么？

我们生活在模拟世界中吗 ?

第一次读懂「模拟器」时，我第一时间想到的是电影『黑客帝国』。我们生活所在「现实世界」也许是某一个模拟器模拟出来的「理想世界」，我们所看到、听到的以及感知到的一切都是被「模拟」出来的。在「现实世界」里，我们活在一个母体中。然而我们并不能意识到这一点。

早在春秋战国时期，庄子也在思考类似的问题：
庄子有一天睡着了，梦见自己变成了一只蝴蝶，翩翩起舞，醒来之后发现自己还是庄子，在梦中，蝴蝶并不知道自己是庄子。于是庄子沉思到底是他梦中变成了蝴蝶，还是蝴蝶梦中变成了庄子呢？如果梦境足够真实……

「缸中之脑」是美国哲学家 Gilbert Harman 提出的这样一个想法：一个人的大脑可以被放入一个容器里面，然后插上电线，通过模拟各种电信号输入，使得大脑以为自己活在真实世界中。

这个想法源自哲学家笛卡尔的《第一哲学沉思集》，在书中他论证我们应该怀疑一切，需要逐一检验所有人类的知识，数学，几何，以及感知到的世界。然而他发现除了「我思故我在」之外，所有的知识都可能不靠谱，因为我们的大脑很可能被一个具有「超能力」的 Evil Demon 所欺骗。

2003 年牛津大学的哲学教授 Nick Bostrom 郑重其事地写了一篇论文『我们生活在计算机模拟世界中吗？』。认为以下三个事实中，至少有一个成立：

• 人类文明彻底灭绝。
• 人类文明已经到达可以完全模拟现实世界的科技水平，但是处于某种原因，没有一个人愿意去创造出一个新的模拟世界，充当上帝的角色。
• 我们现在的人类文明就生活在一个模拟世界中。

硅谷企业家 Elon Musk 在一次公开采访中，谈到「我们生活在基础现实世界」的概率只有「十亿分之一」。也就是说，他认为我们生活在一个电脑游戏（模拟世界）中，在模拟世界之外，有一个程序员，他开发并操纵了这个世界，我们每个人都是一个游戏角色（ NPC）。

在玩腻越狱 iPhone 和自动驾驶之后，神奇小子 Geohot 在今年三月份的「西南偏南」大会上做了一个题为「Jailbreaking the Simulation」的演讲。他认为，我们被生活在一个模拟世界中，所谓的上帝就是外部世界里活蹦乱跳的码农们，他们编程创造了我们的「现实世界」，当然，他们可能启动了不止一个世界副本。然而，他们可能也生活在一个外层「模拟世界」中。

如果我们确实生活在模拟世界中，或许我们可以在地球的某个地方找到一个后门——「Simulation Trapdoor」，从而获得「模拟器」的超能力，抽取出不可思议的「秘密知识」。

如果我们的世界的确是被程序模拟出来的，这个程序也许会有 Bug，如果有 Bug 存在，说不定我们可以利用这个 Bug 进行越狱，跳出「理想世界」，到达外面一层的世界中，与可爱的码农上帝聊一聊。

郭宇 作者

Sonny Sun 编辑

   Roy   **排版******

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本文转自公众号“安比实验室”

原标题为《读心术：从零知识证明中提取「知识」》

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