深入解构 Curve V2 的基本数学原理

头部 AMM 项目似乎正在走向聚集流动性的「大同归一」的演变模式。

原文标题：《逆向解构 Curve V2》
撰文：比原链研究院

本以为 Uniswap V3 已经开启了 AMM 通用兑换的巅峰，没想到 Curve V2 是更为艰难的「冈仁波齐峰」。在为技术蝶变而惊喜的同时，我们更惊讶地发现这些头部 DEX/AMM 项目正在走向一种「大同归一」的演变模式，就像今天要讲的 Curve V2 实际上正是一种直接竞争 Uniswap 的通用兑换模式，而在这之前不久，Uniswap V3 也正式携全新的数学模型向 Curve V1 长期霸占的稳定币交易领域干涉和蚕食。本文尝试用逆向解构的方式呈现 Curve V2 的基本数学原理。

基础模型

简单来讲，Curve V2 采用了一种跟 Uniswap V3 非常类似的基本哲学——围绕「均衡点」聚集流动性。两者都并未依赖外部预言机来达成「均衡点」，而是依靠传统 AMM 系统内的交易博弈，直至系统均衡，在 Uniswap V3 里叫「职业做市商 LP 紧跟市场变化调整 range」，在 Curve V3 中其命名为「内部预言机 internaloracle」。作为两大最顶尖的 AMM 项目，可见其对任何外部风险都十分敬畏。虽然没有依赖外部因子，但这两种模型，尤其是 CurveV2，在通用兑换的道路上给出了非常优越的无常损失、集中流动性、提升资本效率、低滑点、动态费用等一系列难题的解决方案。这当然得益于其「变态」的数学模型。

图 1

数学模型最核心的部分是其创造了一条全新形态的曲线。从上图直观来看，两条虚线是恒定乘积曲线，蓝色线是著名的 Curve V1 稳定币兑换曲线，而 Curve V2 构造的黄色曲线具备两个基本特征——

介于恒定乘积曲线和 Curve V1 曲线之间；

其曲线尾部特征拥有明显的恒定乘积曲线拟合。

所以它可以解决什么问题：

继承了 Curve V1 在「均衡点」附近区域超低滑点和聚集流动性的优势；

通过介于恒定乘积曲线和 Curve V1 曲线之间，以及在曲线的中尾部区域向恒定乘积曲线拟合，获得恒定乘积曲线快速响应流动性变化的优势，避免池子流动性枯竭，灵活响应快速的市场变化。

直接来看表达式：

图 2

乍一看十分晦涩，这里再引用一张 KurtBarry 分享在 twitter 上的图：

图 3

稍微有点恍然大悟。没错，CurveV2 的「变态」曲线其实也是脱胎于 Curve V1 表达式。

图 4：CurveV1 表达式

当 K0 趋近于 1 时，即从曲线形态上逼近「均衡点」范围时（对照图 1 来理解），整个 Curve V2 表达式将退化为 Curve V1 表达式，使得兑换曲线拥有 Curve V1 的优良特性。

公式里最复杂的引入变量是 gamma，它的由来要从图 1 中的两条恒定乘积曲线来讲。上方恒定乘积曲线与 Curve V1 表达式共同成就了 V2 曲线的「均衡点」区域范围，而下方恒定乘积曲线是对上方恒定乘积曲线的一个参数化缩小，即

上方恒定乘积曲线：

下方恒定乘积曲线：

gamma 是一个很小的正小数，在曲线形态上会比上方曲线更缩进原点。如前所述，CurveV2 需要引入这么一条 gamma 曲线，使得 V2 曲线摆脱 V1 曲线在中、尾段的劣势（流动性枯竭和快速响应汇率变化），也就是让曲线拥有更大的后半段曲率。在这个基本原理的指引下，我们需要逆向来理解表达式的构成——

当坐标变化不断向横纵坐标轴的远方移动时，越趋近无穷大，V2 曲线形态越向下方恒定乘积曲线拟合。即 K0 趋近 gamma，CurveV2 表达式 reduction：

移项：

很明显，这将是一条偏向下方恒定乘积曲线的新曲线。

在这里，我们暂时只能从混合曲线的基本构造原理出发，逆向来解释 Curve V2 表达式的构成缘由，即以极限的思想分别向「均衡点」范围逼近以及向横纵远端逼近，表达式会分别 reduction 为 Curve V1 和恒定乘积曲线，以此来实现 Curve V2 将 Uniswap 和 Curve V1 融合的目的，使得这种复杂混合曲线可以支撑通用兑换，并且具备更好的集中流动性和滑点优势，同时保留 Uniswap 对流动性的保护以及对市场汇率突发变化的响应优势。

内部预言机

其实 Curve V2 还有一项非常重要的创新——内部预言机 repegging 机制。这项机制对实施更好的集中流动性以及减缓无常损失是十分有利的。

Curve V2 引入了一种 price_scale 的价格度量，比如池子中有 USDT 和 B_token 两种资产，balance 为 b=[1000,500]，汇率上 1 B = 2USDT，则 price 为 p=[1,2]，最后相乘获得一种 scaledbalance 为 x=[1000,1000]。

结合图 1，在均衡点处，scaledbalance 序列内元素相等（恒定乘积特性）——

随着市场汇率的变化、兑换的发生、LP 做市行为的影响，系统坐标点会逐渐偏离原始「均衡点」，如果不加以纠正曲线形态，不仅会造成流动性的聚集性减弱，还会带来无常损失。

CurveV2 为此提出了 MarketPrice Update 机制:

exponentially moving average (EMA) price oracle

profit measurement

repricing algorithm (depends on i and ii)

概括来讲，系统会通过经典的内部预言机机制 EMA 不断捕获系统内汇率的移动序列，然后不断在每一次交易和做市行为后根据 priceoracle 来更新一种名为收益度量（profit）的变量 Xcp。

这种变量可以理解为每一次价格偏移距离原始均衡点的幅度，可以直观理解为，如果汇率变化幅度不大，系统公式将依旧以原始均衡点为根基，如果汇率变化非常大，坐标点在曲线上偏移很大，则系统应该重建公式，更换新的「均衡点」根基，以此来缩小无常损失和重新聚集流动性。Xcp 这个变量便是用来量化合适可以更换公式和均衡点的手段。

如上所述，当 Xcp 突破阈值后，系统会根据此时更新的 oracleprice 来更新 price_scale，以此来为新公式定位新的均衡点位置，随后更新新的 D 值，获取新的表达式。

这样，原本固定的 Curve V1 曲线便会随着场内汇率的大偏移不断变换均衡点，使得永远在当前汇率附近具备最大的流动性，及时对抗套利者，减缓无常损失。论文中有关于此项机制非常详细的参数化定义，也是实现的复杂之处。

总结

Michael Egorov 一如既往地不愿意多说，所以我们看 Curve V2 非常晦涩。本文介绍了 V2 引领性的两大创新机制：新曲线和 repegging。这条新曲线不仅静态复杂，还拥有了动态属性，可以根据 EMA 和 Xcp 智能响应系统偏移，让池子流动性最大化地聚集在当前汇率范围内，极大地提高了动态资本效率，这是可以超越 Uni V3 的地方。我们最终会发现，CurveV2 可以与 Uni V3 再组合。